Ich möchte starten mit einer kurzen Wiederholung von dem, was wir letzte Stunde gemacht haben.

Wir schauen uns gerade die kanonische Verteilung oder Boltzmann-Verteilung an, das heißt die

Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, im thermischen Gleichgewicht verschiedene Energiezustände

eines Quantensystems zu finden.

Und die qualitative Idee ist die, dass die niedrigeren Energien einfach häufiger vorkommen.

Wir werden auch tatsächlich in der nächsten Stunde oder danach gute Argumente dafür finden,

warum das so sein sollte, dass die niedrigeren Energien häufiger vorkommen.

Grafisch könnte ich das so darstellen, dass ich die Wahrscheinlichkeiten hier langsam

abnehmen lasse, die verschiedenen Zustände zu finden.

Die Verteilung dafür nennt sich kanonische Verteilung oder Gipsverteilung oder Boltzmann-Verteilung

und die sieht sehr einfach aus.

Die Wahrscheinlichkeit, das System im Enten Energiezustand zu finden, ist einfach E hoch

minus Beta En, wo En die Energie des Enten Energiezustandes ist und dann muss ich dividieren

durch eine Normierungskonstante, damit die Summe über alle diese Wahrscheinlichkeiten

eins gibt.

Und das Beta war eine Abkürzung, die wir eingeführt haben, das ist einfach die inverse

thermische Energie.

Z für die Normierung ist die sogenannte Zustandssumme.

Und das muss natürlich sein, die Summe über all diese Boltzmann-Faktoren, damit hinterher,

wenn ich über pn summiere, eins rauskommt.

Und dann kann man hergehen und sich fragen, was wäre der Mittelwert in diesem thermischen

Gleichgewicht von irgendeiner Observable, so wie dem Ort oder dem Impuls oder der Energie

oder anderen Größen.

Die werden ja alle in der Quantenmechanik durch Operatoren ausgedrückt.

Ich nehme hier irgendeinen generischen Operator A, das könnte jetzt der Impuls oder der Ort

sein.

Und der Mittelwert im thermischen Gleichgewicht wäre dann einfach die Summe über all diese

Zustände, der Erwartungswert dieses Operators in dem betreffenden Zustand, gebildet nach

den üblichen quantenmechanischen Regeln und dann gewichtet mit dieser Wahrscheinlichkeit.

Und speziell natürlich, wenn sich die Wahrscheinlichkeit alle im Grundzustand konzentrieren würde,

was bei Temperatur gleich Null der Fall ist, dann sind die thermischen Erwartungswerte

nichts anderes als die Erwartungswerte im Grundzustand.

Und ansonsten ist es eben das gewichtete Mittel.

Und sobald Sie wissen, wie Sie Erwartungswerte, wie Sie thermische Mittelwerte berechnen können,

können Sie alles machen, was man so typischerweise in der Statistik macht, insbesondere nicht

nur Mittelwerte ausrechnen, sondern auch die Fluktuationen charakterisieren, wie stark

schwankt die Größe.

Und das geht eben über die Varianz, das heißt, Sie würden sagen, die Varianz von A, das

bekomme ich, wenn ich von dem schwankenden Wert von A den Mittelwert abziehe und betrachte,

wie stark schwankt diese Differenz und damit dann bei der Mittellung tatsächlich noch

etwas ungleich Null herauskommt, sollten Sie das Quadrat davon nehmen und dann nochmal

mitteln, also das mittlere Schwankungsquadrat, das ist die Varianz.

Und wenn Sie dieses Quadrat ausführen und die Mittelwerte reinziehen, dann finden Sie

schnell, und das hatten wir das letzte Mal für den Spezialfall vom Hamilton-Operator

vorgeführt, das ist nichts anderes als der Mittelwert von A² minus der Mittelwert von

A zum Quadrat.

Einmal steht das Quadrat drin, einmal steht das draußen, wenn A jetzt nicht schwankt,

dann sind beide Werte gleich und es kommt Null raus und ansonsten kommt eben etwas größer

Null heraus.

Okay.